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AMC10竞赛知识点:费马小定理的应用

09-02

本期想来给大家分享一些AMC10竞赛知识点,这个费马小定理是AMC10数论部分常常会用到的,下面就一起来跟我们一起看看这个定理的推理和应用吧!

AMC10竞赛知识点:费马小定理的应用内容图片_1

AMC10竞赛知识点:费马小定理的应用内容图片_2

费马小定理是业余数学家费马于1636年提出的。费马小定理又称费尔马小定理,定理内容是:如果p是质数,且(a,p)=1(表示a和p互质),那么ap-1≡1(mod p)(“≡”是同余符号,a≡b(mod m)表示a和b关于模m同余)。说到这也许很多小伙伴就很好奇了,费马小定理是如何证明的呢,其实它的证明并不复杂。

#费马小定理的证明#

证:∵ p为质数

       ∴ 1,2,3,......,p-1模p余1~p-1(完全剩余系)

       又∵(a,p)=1

       ∴ a,2a,3a,......,a·(p-1)也是模p余1~p-1(完全剩余系)

       ∴ 1×2×3×......×(p-1)≡a×2a×3a×......×(p-1)a (mod p)

       即(p-1)!≡ap-1·(p-1)!(mod p)

       ∴ p|(p-1)!·(ap-1-1)

       又∵(p,(p-1)!)=1

       ∴ p|ap-1-1

       ∴ ap-1≡1(mod p)

       ∴ 得证

费马小定理的逆定理

根据费马小定理,其逆定理就是如果ap-1≡1(mod p),那么p是质数,且(a,p)=1。数学家们花了很多很多年的时间终于找到了一个最小的合数,它竟然满足ap-1≡1(mod p),但却不是质数。这个著名的最小伪素数就是341,它是31和11的乘积,一个彻彻底底的合数。后来数学家们证明出这样的伪素数有无数个。由此可知,费马小定理的逆定理不成立。

费马小定理的变式

费马小定理还有一个变式,即:当p为任意素数,a为任意整数时,ap≡a(mod p)。

以上就是关于AMC的干货分享了,如果您有参加竞赛需求的话,欢迎您点击在线咨询或者【预约报名】,唯寻能够满足您对于BBO、UKCHO、RES、USAD等国际竞赛方面的需求。

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Michael Wang

牛津大学工程科学荣誉学士&硕士

牛津大学工程科学荣誉学士&硕士

· A-Level成绩A*A*A*a

· 高中毕业于Concord College,获得英国数学竞赛BMO第十一名的成绩&英国物理竞赛BPhO银奖

· 牛津中国论坛OCF 联合创始人&副主席(2013-2015)

· 全英春节联欢晚会主持人(2014-2016)

· 牛津春节联欢晚会主持人/艺术总监/副导演(2014-2016)

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