如何复习AP微积分AB BC 考点梳理带你走出公式地狱

在复习AP微积分AB BC的时候，除了要把所有知识点过一遍，熟悉CB的考察方法也是非常重要的。本文将为大家整体介绍一下与公式相关的AP微积分AB BC的考点和考法。如果觉得公式太虐，不妨在熟悉试卷后针对性复习公式哟。

AP微积分AB BC的区别

AP微积分实际上分为两个科目，微积分AB和微积分BC。从学习内容上来看，微积分AB的知识点是被完全包括在微积分BC中的，相对难度会比较小。

AP微积分AB BC所考内容大概包含5部分，分别为函数、极限和连续，导数和导数的应用，不定积分、定积分及其应用，微分方程和无穷级数。其中只要涉及参数方程、极坐标、数列和级数等只有BC考，AB不考。

AP微积分AB BC考点整理

1. 极限(Limits)

1) 极限定义的理解 

极限的逻辑,左右极限的概念以及函数在某点存在极限的要求;还需要会从图像上判断极限。

2) 基本计算

一些基本函数的极限结论要熟悉,如𝑦 = 𝑒 !在 𝑥 分别趋向于正无穷、负无穷时的极限,𝑦 = sin 𝑥 在 𝑥 趋向于无穷大时的极限,等等; 基本的加减乘除原则;

有理函数(rational functions)类型的:自变量趋向于无穷时,直接看最高项次方的关系,还包括一些类似形式的;

极限公式: 𝑥 趋近于 0 时,𝑠𝑖𝑛 𝑥/𝑥 的极限;

洛比达法则(L’ Hopital’s Rule)——AB暂时不考——BC考极限的时候经常考它。

3) 求函数渐近线(asymptotes)

水平的(horizontal)和竖直的(vertical)各自用极限是怎么定义计算的,基础还是极限计算。不要硬背公式,回到逻辑上去看。

2. 连续(Continuity)

1) 连续的定义 

包括在一点的连续和在一个区间的连续的定义,以及如何根据定义去判断函数在一点是否连续(包括数字计算和根据图像的判断)。

2) 闭区间连续函数的性质定理

最值定理(Extreme Value Theorem)

介值定理(Intermediate Value Theorem)

零点定理(Zero Point Theorem)记住这三个定理的内容,理解其逻辑,并会联系 Mean Value Theorem。

3. 导数(Derivative)

1) 在一点的导数的理解 

导数的定义式子及物理意义和几何意义要记得;

会用∆y/∆x(difference quotient)估算区间中间某点的导数,并且得清楚什么是 average rate of change;

图像上常见的不可导的点要记得; 在一点可导(differentiable)同在一点连续(conti

nuous)的关系。

2) 导函数(Derivative Function) 

对导函数定义的理解以及对应的定义式要认识;

基本初等函数的导数结果应该非常非常熟悉; 

知晓微分(differential)的概念,区别于导数; 基本计算方法:

乘除原则(product rule and quotient rule);

链式法则(chain rule)——会考你,不仅要会算有具体函数式子的,还要会针对抽象函数使用链式法则;

反函数(inverse function)的导数——一个倒数关系,一个自变量与函数值的相反关系;

隐函数(implicit function)的导数计算——本质上还是一个链式法则的使用;

对数求导数技巧(logarithmic differentiation)——两边取对数让计算的不方便变得方便;

参数函数求导(parametric functions)——AB 不考——公式要记好,不要搞反了,写成了 𝑥 对参变量求导再除以 𝑦 对参变量求导;极坐标函数(polar functions)——AB不考——应该把握好极坐标的定义,与直角坐标之间的关系,极坐标曲线在某点的切线斜率(这个比较可能出现在选择题里),还包括后面积分(integral)知识的求极坐标曲线围成区域的面积;

向量函数求导(vector functions)——AB不考——在AP里主要是应用到曲线运动的问题中。

高阶导数(higher order derivatives)——记录方式起码要熟悉,涉及到隐函数的高阶导数时,不要出错。

3) 导数的应用

求切线(tangent line)或法线(normal line)——建立在求导计算的基础上,还要能熟练写出直线的点斜式形式的方程;切线估算(linear approximation)——知道线性估算的逻辑,估算式子要记好;

变化速度以及相关变化速度(rates of change and related rates)——单独的变化速度问题,考的就是求导(很多时候是链式法则);相关变化速度问题的套路一般是建立模型等式,然后两边同时对时间求导;

微分中值定理(Mean Value Theorem)——准确记好条件及结论,以及能理解结论的意思;

𝐟𝐱,𝐟! 𝐱,𝐟!! 𝐱——关于增减(Increasingordecreasing),关于凹凸(concave up or concave down),关于拐点(inflection points)。一定要熟练彼此之间的关系,一定是重点。

Maxima and minima:

Relative (local)——求解的套路要熟练,包括知道critical points的概念,面对函数式子怎么求解,面对隐函数类型的导数结果怎么判断,面对导数图像怎么判断。根本的东西还是判断方法的逻辑和结论;Absolute (global)——闭区间时不要忘记比较端点。

此外,还需要清楚,面对的是函数的导数时,怎么去求函数在一个闭区间里的absolutemaxima/minima,这需要结合积分(integral);

Motion:

直线运动——position,velocity,speed,acceleration 的概念以及彼此间的联系要清楚,velocity和 speed各自怎么判断增减,以及联系 积分求 distance和displacement;

曲线运动——AB 不考—position,velocity,speed,acceleration的概念以及彼此间的联系要清楚,运动轨迹在某点的切线怎么求,一段时间内走过的distance 在曲线运动中又怎么计算;

4. 积分(Integral)

1) Indefinite integral

清楚 antiderivative 的概念以及主要计算方法:基本的不定积分结果要熟悉;
换元积分法(Substitution of variables)—熟悉微分的表达方式,敏感要替换的变量的选择,熟练基本逻辑、套路;

分部积分法(by parts)——AB 不考——熟悉分部法的套路、公式,以及各自角色的选择;

简单的部分分式函数的积分(simple partial fractions)——AB不考——套路非常刻板,不要偷懒,踏实地计算准确。

微分方程(differential equations)——只考查变量可分离的(separable)微分方程,一定要熟悉套路,还要清楚对数(log)与指数(exponents)的转换;

指数增长(exponential growth)——认识其样子,记住结果; 

逻辑斯蒂微分方程(logistic differential equations)——AB 不考——认识其微分方程,懂得其逻辑,记住对应结论;

斜率场(slop fields)——知道是个什么鬼,并会判断微分方程和对应斜率场;

欧拉方法(Euler’s method)——AB 不考——套路要记好,注意从右向左估算时,步长(step size)为负的。

2) Definite Integral

定义——知道定义,并能将对应样子的式子写成积分式; 

图像——会根据函数图像计算定积分,并注意上下限的大小前提; 

估算——运用黎曼和(Riemann sum)以及梯形和(trapezoidal sum)估算定积分; 

计算性质——计算定积分时要能熟练运用其计算性质;

微积分基础定理(Fundamental Theorems of Calculus) 基础定理——要记住结论,一见到变限积分函数形式就想到它的导数。还要会联系链式法则; 

第二基础定理(牛顿—莱布尼茨公式)——主要还是一个不定积 分的计算。此外,还要清楚换元法和分部法(AB 不需要)在定积分 中怎么使用,以及有时候结合几何意义进行计算;

反常积分(improper integral)——AB不考——认识什么是反常积分,计算规则的正确使用,反常积分收敛(convergent)、发散 (divergent)的定义;

3) 定积分的应用 

通过变化速度求变化量——想想最基本的例子和逻辑(上过课的同 学想想某位石姓帅气导师使用肥皂的例子),一定会考你的; 

求平均值(average value)——记住怎么计算,同时,不要混乱于平均变化速度(average rate of change); 

由导数求函数值——分别面对导数的式子以及导数的图像两种情况, 有时是具体背景中,有时是单纯的计算; 

面积——直角坐标和极坐标两种形式都要熟练(AB 只要求直角坐 标),并清楚各自公式的逻辑; 

体积——旋转体体积以及横截面垂直于坐标轴类型的都要会; 

曲线长度——AB 不考——公式不要记错,清楚 𝒚 = 𝒇(𝒙)和参数方程两种形式。

5. 无穷级数(Infinite Series)——AP微积分AB 不考

1) 级数的收敛

数列与级数(Sequence and Series)——知道各自是个什么东西,且知道数列收敛(convergent)的概念; 

级数收敛和发散(convergent or divergent)的概念——知道部分和(partial sum)的概念以及级数收敛的定义,知道级数收敛的必要条件(级数收敛,term 一定趋近于 0)及其逆否命题形式(term不趋近于 0,级数一定发散); 

常见级数——熟悉四种常见级数及各自收敛或发散的结论,其中交错级数(alternating series)收敛的判断方法,以及它的收敛结论和误差边界(error bound)要熟悉逻辑和结论; 

常见判断方法——三种判断方法的使用前提、逻辑、结论都要熟悉; 

收敛(absolute convergence)的概念——不直接考试,但要掌握;

2) 幂级数(power series) 

知道什么叫以𝑎为中心的幂级数(apowerseriesabout 𝒙=𝒂),并能熟练使用 ratio test求解其收敛域(interval of convergence)和收敛半径(radius of convergence)。

3) 泰勒级数(Taylor series)

函数所展开的以𝒂为中心的泰勒级数的公式要记好; 

麦克劳林(Maclaurin series)——清楚它是什么鬼,以及熟练那四个函数的麦克劳林级数展开结果; 

写函数的泰勒级数——直接套公式写抽象函数的,以及通过已知函数的泰勒级数间接(替换,求导,求反导等)写出某个函数的泰勒级数, 一定会考;

泰勒多项式(Taylor polynomial)——知道n 阶泰勒多项式(nth-degree Taylor polynomial)的概念,以及会运用它估算(approximate)函数在某点的值;

误差边界(error bound)——熟悉拉格朗日余项(Lagrange remainder的结果,知道拉格朗日误差边界(Lagrange error bound)的概念,并能熟练地进行实际计算,同时对比交错级数的误差边界。

有关AP微积分AB BC公式的考点与考法整理就到这里，希望能帮到备战明年大考的小伙伴们。

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