MAT真题难吗 来看看重要考点会怎么出题吧

MAT是牛津、华威等大学热门专业的申请笔试。早些时候，我们聊了聊与函数考点相关的MAT真题怎么答（点击回顾），今天就换一个题型，看看取值范围相关的题目从哪些角度切入比较好。

MAT是什么考试？对申请有啥作用

申请牛津、帝国理工的数学、计算机专业本科，需要参加MAT考试，华威大学的数学相关专业也鼓励大家考MAT。

MAT考试只有一套卷子，满分100分，一共7道题，考生需要选择其中5道来回答。不同学校、不同专业的答题要求都是不一样的。

MAT真题解析：取值范围相关内容

【啥是取值范围？】

我国著名数学家、数学教育家单墫⽼师的⼀篇短文曾提到了关于取值范围的看法——

“参数的取值范围，在数学中并不是很重要的。它有两个来源——函数的定义域(Domain)，二是函数的值域(Range)。
前者，因为很多的函数定义域是明显的(除非故意刁难)，如果溢出定义域会出现荒谬的结果，从而导致必须的限制;或者索性打破限制，拓宽函数的定义域(如极限延拓定理，数域的扩张。最厉害的是Dirac的函数，导出一大批广义函数)。

后者，可归入求函数的极值。因此通常大学里并不出现这类问题......”

【取值范围会从哪些角度出题？】

01 几何问题

⽐如问最短或最长距离，考验同学数形结合的思想。这⾥我们⽤ 2016年的选择题I作为例题来说明⼀下。

这道MAT真题考核的是如何寻找函数值在固定Constraint中的极值，但是因为这个constraint本⾝描述的就是⼀个单位圆，这是很明显的hint，要我们考虑⼏何性质。⽽这⾥的ax + by本质上是family of lines，通过联想原点到直线ax + by = c的最短距离公式。

我们发现最⼤化其实就是在constraint之内最⼤化原点到直线的最短距离，这样就把题⽬转化成了⼏何问题；因为圆内离圆⼼最远的距离是1，所以最⼤取

这道题还有⼀个特殊的解法，和很多极值问题⼀样，在有限的条件⾥我们可以通过⼀些不等式的⼿法取得极限，这⾥我们可以⽤柯西不等式巧妙的得到⼀个极限。

但是不要忘记check whether equality holds，柯西不等式的要求是(a, b)和(x, y)这两个向量平⾏，并且我们也要求(x,y)在圆上，这些我们都可以满⾜，所以极值可以取到。

 More examples (non-exhaustive list)

Trigonometry: 2007 Q1 B, 2011 Q1 ILog: 2007 Q1 I, 2008 Q1 BIntegration: 2012 Q1 F, 2017 Q1 J, 2015 Q3 (v)

02 Other Functions

函数⾥的取值范围往往和图像相关，我们最常见的就是Quadratic的Discriminant，是否有实根，是否有交点，往往都可以转化到的正负性质上。

MAT真题里更加general的函数取值范围要学会判断，如果说⼀个函数在某个闭区间内是单调的，那么它的极值⼀定在两个端点处；⼀个odd degree

polynomial是在实数轴上必有交点，但是⼀个even degree polynomial不⼀定，要去判断他们的local minimum and maximum，⽅便找准题⽬的要求。

复合函数要学会分段去考虑，利⽤好函数本⾝的对称性，拓展其他的Domain。

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